Авторизация
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
После регистрации вы можете задавать вопросы и отвечать на них, зарабатывая деньги. Ознакомьтесь с правилами, будем рады видеть вас в числе наших авторов!
Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы добавить ответ.
Для доказательства этого факта, нам необходимо показать, что противоположные стороны параллелограмма 567 параллельны и равны.
Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, а E, F, G, H — середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно.
1. Докажем, что EF || GH.
Рассмотрим треугольники AEF и CDH.
Так как E и F — середины сторон AB и BC, соответственно, то EF || AB и EF = 1/2 * AB.
Аналогично, так как G и H — середины сторон CD и DA, то GH || CD и GH = 1/2 * CD.
Так как AB || CD (противоположные стороны четырехугольника), то по теореме о треугольниках с параллельными сторонами, треугольники AEF и CDH подобны.
Значит, у них соответственные стороны пропорциональны:
AE/CD = EF/DH = AF/CH.
Но так как AE = 1/2 * CD и EF = 1/2 * DH, то AE/CD = EF/DH = 1/2.
Значит, AF/CH = 1/2.
Так как AF = 1/2 * AB и CH = 1/2 * BC, то AF/CH = AB/BC.
Значит, AB/BC = 1/2.
Но это означает, что AB || BC и AB = 1/2 * BC.
Таким образом, EF || GH и EF = GH.
2. Докажем, что EF = GH.
Из предыдущего пункта мы знаем, что EF = 1/2 * AB и GH = 1/2 * CD.
Но так как AB = CD (противоположные стороны четырехугольника), то EF = GH.
Таким образом, мы доказали, что EF || GH и EF = GH, что означает, что EFGH — параллелограмм.
При этом, E, F, G, H — середины сторон произвольного четырехугольника ABCD.
Таким образом, середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма EFGH.